フーリエ変換

フーリエ変換

関数変換を行う線型作用素の一つ。 具体的には時系列の関数を既知の周波数域の関数へ変換すること

これにより、(ほぼ任意の）関数をフーリエ級数で書き表すこと（つまり三角関数の和の形として表現すること）が可能になり、例えば「ある波（関数）について、どのような周波数成分がどの程度含まれるのか」といった展開ができる

フーリエ変換（特に高速フーリエ変換）は工学、理学、近年は医療工学の広い分野で利用されている。 バンド計算などでの実空間⇔逆格子空間の変換、スペクトル解析、X線散乱実験などの解析、MRIの原理、CTの原理などには必須である。およそ近年のディジタル化されている医療機器には全て関与しているといっても過言ではない。

離散フーリエ変換を計算機上で高速で計算できるようにしたのが高速フーリエ変換 (FFT)であり、高速フーリエ変換を使うことにより畳み込みは高速で計算できる

フーリエ係数を求めるには、理論上は無限の区間に渡って積分を行わなければならないが、実験（検査も実験とみなす)値等からフーリエ係数を求めるには、実用上範囲を区切って、かつまた離散値のデータを用いざるを得ず、信号の一部を切り出してフーリエ変換を行う患者さんを無限に待たすわけにはいかない）。 このように処理を行いフーリエ係数を求めるための代表的な2つの問題点としては

１ データ数が少ないと、周波数分解能すなわちスペクトルの精度はは低下してしまうが その一方で、データ数が多いと計算量はデータ数の2乗で増え、処理時間が急激に増えてしまう

これの対策の一つとしてはとしては高速フーリエ変換がある

2 抽出したデータの両端の影響をどのように押さえるかという点。 つまりある範囲の値が周期的かつ無限に繰り返されていると仮定して計算するが、ある範囲の最初の値と最後の値は一般には不連続であり、つなげることによって発生する不連続な要素が問題となる。

すなわち、離散フーリエ変換ではデータの周期性が仮定されているため、 右端と左端のデータ値が大きく異なると、その部分で急激に変化しているような影響が現れ、 結果として高調波成分の歪みが発生する。

これの対策の一つとしては、実用上は中央が1付近の値でその範囲外で急速に0に収束する関数をかけて、不連続要素をできるだけ抑えるような結果を離散フーリエ変換で近似を行う。

このときこのかけ合わせる関数を窓関数という